Senin, 13 April 2020

RESUME MATERI MINGGU 7

Teorema Limit Bilangan Euler

Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan dengan bilangan Euler.

Teorema 1. Apabila $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)=0$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} g(x)=\pm \infty$ maka

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{x\rightarrow c} \left(1+f(x)\right)^{g(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)g(x)}. \end{equation*}$

Supaya lebih memahami penggunaan teorema di atas, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 2. Tentukan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}.$

Apabila berturut-turut diambil $f(x)=\displaystyle \frac{-2}{x+1}$ dan $g(x)=3x-2$ maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\infty.$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-2}{x+1}\cdot (3x-2)}\\ &=e^{-6} \end{split}. \end{equation*}$

Contoh 3. Tentukan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}.$

Apabila diambil $f(x)=(x-1)$ dan $g(x)=\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x-2)}$ maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=\pm\infty (\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\infty~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=-\infty).$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}(x-1)\cdot\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x-2}}\\ &=e^{-1} \end{split} \end{equation*}$
SUMBER : https://kalkulus.mipa.ugm.ac.id/single/teorema-limit-bilangan-euler/

Minggu, 12 April 2020

RESUME MATERI MINGGU 5

Limit Fungsi Aljabar : Rumus, Metode, Sifat, Teorema, dan Contoh Soal

Limit Fungsi Aljabar – Limit bisa diartikan sebagai menuju batas, sesuatu yang dekat namun tidak bisa dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini adalah umum disebut limit. Berikut akan kami jelaska tentang pengertian beserta rumus, metode, sifat, teorema dan contoh soalnya, Untuk lebih jelasnya sima pembahasan dibawah ini

Limit Fungsi Aljabar

Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan tentang suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa didekati? karena suatu fungsi umumnya tidak terdefinisi pada titik tertentu. Meskipun suatu fungsi terkadang tidak terdefinisi pada titik tertentu, namun masih mapu dicari nilai yang didekati pada fungsi tersebut jika titik tertentu didekati yaitu dengan limit.

Rumus

Dalam matematika, limit umum dituliskan dengan:

Artinya, jika x mendekati a dan x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a mapu dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan kanan atau dengan istilah lain x bisa mendekati dari arah kiri dan kanan sapai menghasilkan limit kiri dan kanan.

Metode Limit Aljabar

Terdapat 4 metode dalam mencari fungsi limit aljabar, berikut ini adalah penjelasan secara lengkapnya

Metode subitusi
Metode pemfaktoran
Metode membagi pangkat tertinggi penyebut
Metode mengalikan faktor sekawan

1. Metode Subsitusi

Metode subsitusi yaitu hanya mengganti peubah yang mendekati pada nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya

Contoh

Maka, Nilai funggi limit aljabar yaitu

2. Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran digunakan jika metode subsitusi menghasilkan nilai limit tak terdefinisikan

Contoh :

Metode pemfaktoran dilakukan dengan menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya.

Dengan kaitanya pada bentuk limit kedua ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut

Contoh :

Tentukan suatu nilai limit fungsi aljabar dibawah ini

Besar pangkat yaitu 2, maka

Nilai limit fungsi aljabar tersebut yaitu

4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan

Contoh :

Tentukanlah suatu nilai limit dibawah ini

Langkah pertama yang dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x = c ke f(x), hingga substitusikan
x=4 ke

Setelah disubstitusikan dan ternyata nilai limit tidak terdefinisi / merupakan bentuk tak tentu

Maka itu untuk menentukan nilai limit wajib memakai metode lain. Dan cobalah diperhatikan, pada f (x) terdapat bentuk akar yaitu

Sampai metode perkalian dengan akar sekawaran mampu dilakukan seperti ini.

Bentuk

Difaktotrkan menjadi

Maka, limit fungsi aljabar tersebut yaitu -4

Toerema (Pernyataan)

fungsi dikatakan memiliki limit jika antara limit kiri dan limit kananya memiliki besar nilai yang sama dan jika limit kiri dan kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

Sifat Limit Fungsi Aljabar

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g merupakan fungsi yang memiliki limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

Contoh Soal

Berikut ini adalah beberapa contoh soal agar memudahkan dalam memahami limit fungsi aljabar

Soal No. 1
Tentukanlah nilai fungsi limit dari:

Jawab :
Limit bentuk

di dapat

Soal No. 2

Pembahasan
Limit aljabar bentuk

Substitusikan saja nilai x,

Demikianlah pembahasan mengenai limit fungsi aljabar, Semoga bermanfaat

sumber : https://rumus.co.id/limit-fungsi-aljabar/

Rabu, 08 April 2020

RESUME MATERI MINGGU 4

Langkah-langkah membuat sketsa
grafik adalah

(1) Bilamana mungkin tentukanlah
pula titik potongnya dengan
sumbu koordinat
(2) Tentukanlah koordinat-koordinat
beberapa titik yang memenuhi
persamaan.
(3) Buatlah diagram pencar titik-titik
di bidang
(4) Hubungkan titik-titik tersebut
sehingga membentuk suatu kurva
yang mulus