Definisi Turunan Fungsi

Pada bagian ini, diingat kembali gradien garis lurus yang melalui melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ , yakni

$m=\displaystyle \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.$

Selanjutnya diperhatikan parabola dengan persamaan $y=x^{2}$ . Bagaimana cara menentukan angka kemiringan garis singgung $g$ di titik $P(1,1)$ ?.

Diperhatikan grafik $y=x^{2}$ dibawah ini.

Selanjutnya, jika $Q(x,x^{2})$ adalah sebarang titik pada parabola $y=x^{2}$ , maka gradien garis lurus yang melalui titik $P$ dan $Q$ , adalah

$\begin{equation*} m_{PQ}=\displaystyle \frac{x^{2}-1}{x-1}. \end{equation*}$

Dari gambar di atas, semakin dekat titik $Q$ dengan titik $P$ , maka gradien garis $PQ$ akan mendekati nilai gradien garis singgung kurva yang melalui titik $P$ , yakni $m_{g}\approx m_{PQ}$ . Dengan demikian,

$\begin{equation*} \begin{split} m_{g}&=\lim_{x\rightarrow 1}m_{PQ}\\ &=\lim_{x\rightarrow 1}\displaystyle \frac{x^{2}-1}{x-1}\\ &=\lim_{x\rightarrow 1}\displaystyle (x+1)\\ &=25. \end{split} \end{equation*}$

Secara umum, angka kemiringan garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik $x=c$ dapat dirumuskan sebagai

$\begin{equation*} m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \end{equation*}$

atau

$\begin{equation*} m=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}. \end{equation*}$

Selanjutnya diberikan definisi turunan fungsi $f$ di $x=c$ .

Definisi 1. Diberikan fungsi $f$ dan $c\in D_{f}$ , turunan fungsi $f$ di $c$ , dinyatakan dengan $f'(c)$ dan didefinisikan dengan

$\begin{equation*} f'(c)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \end{equation*}$

asalkan nilai ini limit ada.

Supaya lebih memahami tentang definisi turunan fungsi, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 2. Tentukan turunan fungsi $f(x)=x^{2}-3x$ di $x=1$ .
Penyelesaian.

$\begin{equation*} \begin{split} f'(1)&=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\\ &=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left((1+h)^{2}-3(1+h)\right)-(-2)}{h}\\ &=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1+2h+h^{2}-3-3h+2}{h}\\ &=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}-h}{h}\\ &=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}(h-1)\\ &=-1 \end{split} \end{equation*}$

atau dapat diselesaikan dengan cara berikut

$\begin{equation*} \begin{split} f'(1)&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ &=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x^{2}-3x)-(-2)}{x-1}\\ &=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}\\ &=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}\\ &=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}(x-2)\\ &=-1 \end{split} \end{equation*}$

Contoh 3. Tentukan $f'(2)$ jika diketahui $f(x)=|x-2|$ .
Penyelesaian.

$\begin{equation*} \begin{split} f'(2)&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\ &=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x-2|-0}{x-2}\\ &=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x-2|}{x-2}.\\ \end{split} \end{equation*}$

Diperhatikan bahwa

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{|x-2|}{x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{-x+2}{x-2}=-1 \end{equation*}$

dan

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{|x-2|}{x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{x-2}{x-2}=1. \end{equation*}$

Karena $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{|x-2|}{x-2}\neq \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{|x-2|}{x-2}$ , maka $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x-2|}{x-2}$ tidak ada. Dengan demikian $f'(2)$ tidak ada.

Selanjutnya dibentuk himpunan $D=\{a\in D_{f}~|~f'(a)~\textit{ada}\}$ .
Lebih lanjut, dapat dibentuk fungsi $f' : D\rightarrow \mathbb{R}$ dengan

$\begin{equation*} f'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \end{equation*}$

Selanjutnya, fungsi $f'$ dikatakan turunan fungsi $f$ .

Berikut ini diberikan contoh mencari turunan dari suatu fungsi.
Contoh 4. Diberikan fungsi $f$ dengan rumus $f(x)=x^{2}-3x$ .
Penyelesaian.

$\begin{equation*} \begin{split} f'(x)&=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left((x+h)^{2}-3(x+h)\right)-(x^{2}-3x)}{h}\\ &=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h\right)-(x^{2}-3x)}{h}\\ &=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h-x^{2}+3x}{h}\\ &=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^{2}-3h}{h}\\ &=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(2x+h-3)\\ &=2x-3. \end{split} \end{equation*}$

Jadi $f'(x)=2x-3$ .

sumber:https://kalkulus.mipa.ugm.ac.id/single/definisi-turunan/

Blog iseng yang dibuat untuk tugas sekolah

Selasa, 16 Juni 2020

RESUME MATERI MINGGU 9

Definisi Turunan Fungsi

Tidak ada komentar:

Posting Komentar